Så fungerar det
Hur mycket rymmer en rund kula, och hur stor är dess yta? För en idealiskt klotformad kropp räcker ett enda känt mått för att räkna ut resten. Utgå från radien, diametern, storcirkelns omkrets, ytarean eller volymen.
Här betyder area hela den böjda ytan runt klotet. Omkretsen C hör däremot till en storcirkel: en cirkel som uppstår när ett plan skär klotet genom dess centrum. Ett mindre cirkelsnitt längre från centrum har en annan omkrets och kan inte användas som C i formlerna.
Välj vilken storhet du känner och ange ett positivt värde med rätt enhet. Du behöver bara ett känt mått; för en ideal sfär bestämmer det alla de andra. Två uppmätta värden kan användas som rimlighetskontroll.
Beräkna sfärens fem mått
Välj ett känt mått och ange ett positivt tal. C är omkretsen hos en storcirkel genom kulans centrum. Använd en gemensam längdenhet L; arean blir L² och volymen L³.
Vad betyder de fem måtten?
Radien r är avståndet från centrum till ytan. Diametern d går genom centrum från ena sidan till den andra. C är storcirkelns omkrets. A är hela sfärens ytarea och V är volymen innanför ytan.
Strikt geometriskt är sfären själva ytan och klotet kroppen innanför. Med sfärens volym menar vi här volymen innanför sfären. Beräkningen gäller en ideal form, inte materialvolymen i ett ihåligt skal.
Formler för sfär och klot
| Känt mått | Radie r | Diameter d | Storcirkelns omkrets C | Ytarea A | Volym V |
|---|---|---|---|---|---|
| Radie r | r | 2r | 2πr | 4πr² | 4πr³/3 |
| Diameter d | d/2 | d | πd | πd² | πd³/6 |
| Storcirkelns omkrets C | C/(2π) | C/π | C | C²/π | C³/(6π²) |
| Ytarea A | √(A/(4π)) | √(A/π) | √(πA) | A | A√A/(6√π) |
| Volym V | ∛(3V/(4π)) | ∛(6V/π) | ∛(6π²V) | ∛(36πV²) | V |
π är pi. Använd full tillgänglig precision under beräkningen och avrunda först när svaret ska visas. Grundsambanden är d = 2r, C = 2πr = πd, A = 4πr² = πd² = Cd och V = 4πr³/3 = πd³/6 = Cd²/6.
Varje rad i tabellen använder enbart den kända storheten. √ betyder kvadratrot och ∛ betyder kubikrot. För positiva mått väljs den positiva roten. C måste vara storcirkelns omkrets.
Enheter, avrundning och felgränser
Längderna r, d och C måste uttryckas i samma längdenhet. Med centimeter blir A i cm² och V i cm³. Med meter blir resultaten m² respektive m³. Om du börjar med A = 100 cm² blir de härledda längderna centimeter.
Vid enhetsbyte ska även exponenten följa med: 1 m = 100 cm, men 1 m² = 10 000 cm² och 1 m³ = 1 000 000 cm³. Volymen 1 dm³ är 1 liter.
Avrunda först slutresultatet. Ett litet positivt värde kan behöva vetenskaplig notation för att inte se ut som noll. Mätfel och avrundningsfel är olika saker. Om radien fördubblas fyrdubblas arean och volymen blir åtta gånger så stor.
Exempel
Radien är 3 cm
d = 2 × 3 = 6 cm och C = 2π × 3 = 6π ≈ 18,8496 cm. A = 4π × 3² = 36π ≈ 113,0973 cm². V = 4π × 3³/3 = 36π ≈ 113,0973 cm³. Att talen för A och V råkar vara lika gör inte enheterna utbytbara.
Diametern är 10 cm
r = 10/2 = 5 cm och C = π × 10 ≈ 31,4159 cm. A = π × 10² = 100π ≈ 314,1593 cm². V = π × 10³/6 = 500π/3 ≈ 523,5988 cm³. Kontroll: V = Ar/3.
Storcirkelns omkrets är 12 cm
r = 12/(2π) ≈ 1,9099 cm och d = 12/π ≈ 3,8197 cm. A = 12²/π = 144/π ≈ 45,8366 cm². V = 12³/(6π²) = 288/π² ≈ 29,1805 cm³. Använd den oavrundade diametern i kontrollen A = Cd.
Ytarean är 100 cm²
r = √(100/(4π)) ≈ 2,8209 cm. d = √(100/π) ≈ 5,6419 cm. C = √(100π) ≈ 17,7245 cm. V = 100√100/(6√π) ≈ 94,0316 cm³. Kontroll: V = Ar/3 med oavrundad radie.
Volymen är 1 000 cm³
r = ∛(3 000/(4π)) ≈ 6,2035 cm. d = ∛(6 000/π) ≈ 12,4070 cm. C = ∛(6 000π²) ≈ 38,9778 cm. A = ∛(36π × 1 000²) ≈ 483,5976 cm². 1 000 cm³ motsvarar 1 liter.
Vanliga frågor
Vad är skillnaden mellan sfärens area och cirkelns area?
Sfärens ytarea är 4πr². En cirkel med samma radie har arean πr². Sfärens yta är alltså fyra gånger så stor som arean av dess största cirkelsnitt.
Har en sfär en omkrets?
C i denna beräkning är omkretsen hos en storcirkel genom centrum. Du kan tänka dig ett band runt kulans bredaste del. Ett band runt ett mindre cirkelsnitt ger inte rätt C för dessa formler.
Kan jag räkna ut radien när jag bara vet volymen?
Ja. Använd r = ∛(3V/(4π)). Om volymen anges i cm³ får du radien i cm.
Kan ytarean ensam bestämma volymen?
Ja, för en ideal sfär: V = A√A/(6√π). Det går eftersom ytarean bestämmer radien entydigt när A är positiv.
Är sfärens area samma sak som mantelyta?
Här används ytarea för hela den slutna ytan. En sfär har inga plana basytor som ska läggas till eller dras ifrån.
Varför räcker inte diametern för en ihålig kulas materialvolym?
Ytterdiametern bestämmer volymen innanför ytterytan. För mängden material behövs även den inre radien: materialvolymen är 4π(rᵧ³ − rᵢ³)/3.
Vad händer om måttet är noll eller negativt?
En vanlig tredimensionell kula kräver ett positivt mått. Noll är ett matematiskt gränsfall där alla fem storheter blir noll; det beskriver ingen kula med utsträckning. Negativa mått är inte giltiga här.
Varför stämmer inte mitt uppmätta mått med det beräknade?
Kontrollera först enheten, att diameter inte har blandats ihop med radie och att C har mätts runt en storcirkel. Mätosäkerhet och avvikelser från klotformen kan också ge skillnader.
Fortsätt med en egen beräkning
- Cirkelns area och omkrets: Jämför storcirkeln med sfärens hela yta.
- Cylinderns volym och area: Jämför area och volym för en annan kropp.